မိုနွိုက်

ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် မိုနွိုက် (monoid) ဆိုသည်မှာ အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အစု (set) တစ်ခု၊ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associative property) ရှိသော တွက်ချက်မှုတစ်ခုနှင့် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခုတို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဥပမာအားဖြင့် သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) အစုကို မြှောက်ခြင်း (multiplication) တွက်ချက်မှုနှင့် ထပ်တူရအစုဝင်အဖြစ် ကိန်း ၁ ကို အသုံးပြုထားခြင်းသည် မိုနွိုက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ အစုဝင်တိုင်းကို ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (invertible) မိုနွိုက်တစ်ခုကို အုပ်စု (group) ဟု ခေါ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (definition)

မိုနွိုက်တစ်ခုဆိုသည်မှာ သုံးခုတွဲ (triple) $\left(M,*,e\right)$ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အစု $M$ ၊ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation)

$*\colon M\times M\to M,\quad (a,b)\mapsto a*b$

နှင့် ထူးခြားသော အစုဝင် $e\in M$ တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဤအစုဝင်သည် အဆိုပါတွက်ချက်မှုနှင့်ပတ်သက်၍ အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများကို ပြည့်စုံစေရမည်။

1. တွက်ချက်မှု၏ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ: $\forall a,b,c\in M\colon \ (ab)c=a(bc)$
2. $e$ သည် ထပ်တူရအစုဝင် ဖြစ်ခြင်း: $\forall a\in M\colon \ ea=ae=a$

သို့ဖြစ်၍ မိုနွိုက်တစ်ခုဆိုသည်မှာ ထပ်တူရအစုဝင်ပါရှိသော ဆီမီးအုပ်စု (semigroup) တစ်ခုဖြစ်သည်။ အုပ်စုတိုင်းသည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့သော် အုပ်စုနှင့်မတူဘဲ မိုနွိုက်တစ်ခုတွင် ပြောင်းပြန်များ (inverse elements) ပါဝင်ရန် မလိုအပ်ပေ။

မှတ်ချက်များ (Remarks)

မိုနွိုက်တစ်ခုတွင် ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော ဂုဏ်သတ္တိရှိသည်။ မည်သည့်အစုဝင်သည် ထပ်တူရအစုဝင်ဖြစ်ကြောင်း ထင်ရှားလျှင် မိုနွိုက်တစ်ခုကို အတွဲ (ordered pair) $\left(M,*\right)$ ဟု အတိုချုံး၍ ရေးသားလေ့ရှိသည်။

နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (binary operation) $*$ အတွက် အစက်သင်္ကေတ $\,\!\cdot$ ကို အသုံးပြုလေ့ရှိပြီး ယင်းကို မြှောက်ခြင်းအခြေခံ မိုနွိုက် (multiplicative monoid) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုအခါ ထပ်တူရအစုဝင်ကို ယူနစ်အစုဝင် (unit element) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး သင်္ကေတ $1$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ သာမန်မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှုများတွင် ပြုလုပ်လေ့ရှိသကဲ့သို့ အခြေအနေအတော်များများတွင် ဤအစက်သင်္ကေတကို ချန်လှပ်ထားနိုင်သည်။

တွက်ချက်မှု $*$ အတွက် အပေါင်းသင်္ကေတ $+$ ကို အသုံးပြု၍ မိုနွိုက်တစ်ခုကို အပေါင်းနည်းဖြင့်လည်း ရေးသားဖော်ပြနိုင်သည်။ ထိုအခါ ထပ်တူရအစုဝင်ကို သုညအစုဝင် (zero element) ဟု ခေါ်ဆိုပြီး သင်္ကေတ $0$ ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ အပေါင်းနည်းဖြင့် ရေးသားထားသော မိုနွိုက်များသည် များသောအားဖြင့် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (commutative property) ရှိကြသည်။

ဥပမာများနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်ဥပမာများ (Examples and Counterexamples)

$\left(\mathbb {N} _{0},+,0\right)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။
$(\mathbb {N} ,\cdot ,1)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ $(\mathbb {N} _{0},+,0,\cdot ,1)$ သည် ဆီမီးကွင်း (semiring) တစ်ခု ဖြစ်သည်။
$(\mathbb {Z} ,+,0)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေါင်းခြင်းတွက်ချက်မှု တပ်ဆင်ထားသော ကိန်းပြည့်များ (integers) အစု ဖြစ်သည်။
$(\mathbb {Z} ,-,0)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု မဟုတ်ပါ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် နှုတ်ခြင်းတွက်ချက်မှုသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ မရှိသောကြောင့်ဖြစ်သည်။
$\left(\mathbb {R} ^{n\times n},\cdot ,I_{n}\right)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပုံမှန် မက်ထရစ်မြှောက်ခြင်း (matrix multiplication) နှင့် ထပ်တူရကိန်းအုံ (identity matrix) $I_{n}$ တပ်ဆင်ထားသော ကိန်းစစ် $n\!\times \!n\!\$ ကိန်းအုံများအစု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် $n\geq 2$ အတွက် ဖလှယ်၍မရသော မိုနွိုက် ဖြစ်သည်။
$\left(\mathbb {R} ^{3},\times ,{\vec {0}}\right)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု မဟုတ်ပါ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ဗက်တာမြှောက်လဒ် (vector product) တွင် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ မပြည့်စုံသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ သင်္ကေတ $e_{i}$ ကို $i$ ကြိမ်မြောက် ယူနစ်ဗက်တာ (unit vector) ဟု သတ်မှတ်လျှင် $(e_{1}\times e_{1})\times e_{2}=0$ ဖြစ်သော်လည်း $e_{1}\times (e_{1}\times e_{2})=-e_{2}$ ဖြစ်သည်။
$(n\mathbb {Z} ,+,0)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေါင်းခြင်းတွက်ချက်မှု ရှိသော ကိန်းပြည့် $n$ ၏ ဆတိုးကိန်းများ (multiples) အစု ဖြစ်ပြီး အုပ်စု (group) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။
$\left(\mathbb {Q} _{+},+,0\right)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ပေါင်းခြင်းတွက်ချက်မှု ရှိသော အနုတ်မဟုတ်သော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (non-negative rational numbers) အစု ဖြစ်သည်။
$(\mathbb {Q} _{+}^{*},\cdot ,1)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် မြှောက်ခြင်းတွက်ချက်မှု ရှိသော အပေါင်း ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (positive rational numbers) အစု ဖြစ်သည်။ သို့ဖြစ်၍ $(\mathbb {Q} _{+},+,0,\cdot ,1)$ သည် ဆီမီးကွင်းတစ်ခု ဖြစ်ပြီး ဆီမီးဖီးလ်ဒ် (semifield) တစ်ခုလည်း ဖြစ်သည်။
$(\mathbb {Q} _{+}^{*},\div ,1)$	သည် မိုနွိုက်တစ်ခု မဟုတ်ပါ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် စားခြင်းတွက်ချက်မှုသည် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ မရှိသောကြောင့်ဖြစ်သည်။
$\left({\mathcal {P}}(X),\cap ,X\right)$	သည် ဖလှယ်ရ မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ထပ်တူပိုင်းအစု တွက်ချက်မှု (intersection operation) ပါဝင်သော အစု $X$ ၏ ပါဝါအစု (power set) ဖြစ်သည်။
$(\Sigma ^{*},\cdot ,\varepsilon )$	သည် စကားလုံးမိုနွိုက် (word monoid) ဟု ခေါ်သော မိုနွိုက်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အက္ခရာစဉ် (alphabet) $\Sigma$ ပေါ်ရှိ စကားလုံးများသည် စာသားပေါင်းစည်းမှု (concatenation) $\cdot$ နှင့် ဗလာစကားလုံး (empty word) $\varepsilon$ တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။
$(\operatorname {End} _{\mathtt {C}}(A),\circ ,\operatorname {id} _{A})$	သည် မည်သည့် ကတ်တဂိုရီ (category) ${\mathtt {C}}$ တွင်မဆို ပါဝင်သော အရာဝတ္ထု $A$ ၏ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်သည်။ ယင်းသည် $A{\longrightarrow }A$ သို့သွားသော မော်ဖစ်ဇင်များ ဖြစ်ကြသည်။ မိုနွိုက်တိုင်းကို အရာဝတ္ထုတစ်ခုတည်းသာ ပါဝင်သော ကတ်တဂိုရီတစ်ခုအဖြစ် ဤသို့ ရှုမြင်နိုင်သည်။

ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်များ

မိုနွိုက် $(M,,e)$ တစ်ခုအတွင်းရှိ အစုဝင် $a\in M$ တစ်ခုအတွက်

$ax=e=xa$

ဖြစ်စေမည့် အစုဝင် $x\in M$ တစ်ခု တည်ရှိပါက ထို $a$ ကို ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင် (invertible element) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ဤအစုဝင် $x$ သည် $a$ အပေါ် မူတည်၍ တစ်ခုတည်းသီးသန့် တည်ရှိပြီး ၎င်းကို $a$ ၏ ပြောင်းပြန် အစုဝင် (inverse element) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု ကို မြှောက်ခြင်း သို့မဟုတ် အပေါင်းနည်းဖြင့် ရေးသားပါက ၎င်းပြောင်းပြန်အစုဝင်ကို သင်္ကေတ $\textstyle a^{-1}$ သို့မဟုတ် $-a$ ဖြင့် အသီးသီး ဖော်ပြသည်။ မိုနွိုက် $M$ အတွင်းရှိ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်များအားလုံး ပါဝင်သည့် အစုသည် တွက်ချက်မှု $*$ နှင့်ပတ်သက်၍ အုပ်စု (group) တစ်ခု ဖြစ်သည်။