Teorema de Cayley-Hamilton

Teorema de Cayley-Hamilton
Instancia de teorema  Parte de lista de teoremas  Epónimo Arthur Cayley William Rowan Hamilton
Códigos e identificadores Freebase /m/017dqb MathWorld Cayley-HamiltonTheorem
Wikidata

Arthur Cayley, F.R.S (1821-1895) é amplamente considerado como o principal matemático británico do século XIX. En 1848 foi a Dublín para asistir a conferencias sobre cuaternións por Hamilton, o seu descubridor. Máis tarde, Cayley impresionouno por ser o segundo en publicar traballo sobre eles. Cayley enunciou o teorema para as matrices de ata dimensión 3 e publicou unha proba para o caso bidimensional.

William Rowan Hamilton (1805–1865), físico, astrónomo e matemático irlandés, primeiro membro estranxeiro da Academia Nacional Estadounidense das Ciencias. Aínda que mantiña unha posición oposta sobre como debería estudarse a xeometría, Hamilton sempre permaneceu nos mellores termos con Cayley. Hamilton demostrou que para unha función lineal de cuaternións existe unha certa ecuación, dependendo da función lineal, que é satisfeita pola propia función lineal.

En álxebra lineal, o teorema de Cayley-Hamilton (chamado así polos matemáticos Arthur Cayley e William Rowan Hamilton) establece que cada matriz cadrada con entradas nun anel conmutativo (como os números reais, os complexos ou os enteiros) satisfai a súa propia ecuación característica.

O polinomio característico dunha matriz cadrada $A$ de orde $n$ con entradas nun anel conmutativo defínese como $p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)$, onde $\operatorname {det}$ representa a aplicación determinante, $\lambda$ a variable do polinomio (elementos do anel) e $I_{n}$ a matriz de identidade correspondente. Cada entrada da matriz $(\lambda I_{n}-A)$ é entón constante ou lineal respecto de $\lambda$. Ao calcular o determinante de $(\lambda I_{n}-A)$ obtemos un polinomio mónico de grao $n$ en $\lambda$ que se pode escribir como

$$p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{1}\lambda +c_{0}.$$

Substituíndo a variable escalar $\lambda$ pola matriz A, o que se di avaliación en $A$, tense a expresión polinómica

$$p_{A}(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}.$$

Nótese que esta última expresión non determina unha función senón unha matriz. O teorema de Cayley-Hamilton afirma que esta matriz é exactamente a matriz nula ou matriz cero, é dicir, que o polinomio característico é un polinomio aniquilador de $A$.

Unha aplicación do teorema de Cayley-Hamilton é que permite que expresar $A^{n}$ como unha combinación lineal de potencias matriciais de orde inferior de A:

$$A^{n}=-c_{n-1}A^{n-1}-\cdots -c_{1}A-c_{0}I_{n}.$$

En particular, cando as entradas da matriz pertencen a un corpo, o teorema de Cayley-Hamilton é equivalente a dicir que o polinomio mínimo da matriz divide ao polinomio característico.

Un caso especial do teorema foi probado por primeira vez por Hamilton en 1853 en termos de inversos de funcións lineais de cuaternións. Isto corresponde ao caso de certas matrices reais de orde $4$ ou complexas de orde $2$. Cayley en 1858 enunciou o resultado para e matrices de orde $3$ ou menor, pero só publicou a proba para o caso de orde $2$. En canto ás matrices de orde $n$, Cayley declarou “..., non considerei necesario emprender o traballo dunha proba formal do teorema no caso xeral dunha matriz de calquera orde”. O caso xeral foi probado por primeira vez por Ferdinand Frobenius en 1878.

Demostracións

O teorema de Cayley-Hamilton é unha consecuencia inmediata da existencia da forma canónica de Jordan para matrices sobre corpos alxebricamente pechados. Nesta sección preséntanse probas directas.

Unha proba falsa

Un razoamoento elemental persistente (pero incorrecto) é "simplemente" tomar a definición${\textstyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}$ e substituír $A$ por $\lambda$, obtendo que

$$p_{A}(A)=\det(AI_{n}-A)=\det(A-A)=\det(\mathbf {0} )=0.$$

Hai varias formas de ver por que este argumento é erróneo. En primeiro lugar, no teorema de Cayley-Hamilton, $p_{A}(A)$ é unha matriz de orde $n$, mentres que, neste caso, o lado dereito da ecuación anterior é o valor dun determinante, que é un escalar. Por este motivo, non poden ser equiparados a menos que $n=1$. En segundo lugar, na expresión $\det(\lambda I_{n}-A)$, a variable $\lambda$ aparece realmente nas entradas diagonais da matriz . Para ilustralo, consideremos o polinomio característico

$$\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}.$$

Substituíndo toda a matriz $A$ por $\lambda$ nesas posicións, obtense

$$\det \!{\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}-1&-2\\-3&{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}-4\end{pmatrix}},$$

o cal non é unha expresión válida. Por outra parte, de facer a substitución como

$$\det \!{\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}-I_{2}&-2I_{2}\\-3I_{2}&{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}-4I_{2}\end{pmatrix}},$$

entón o determinante sería efectivamente cero, pero entón a matriz expandida en cuestión non se corresponde con $AI_{n}-A$. Así que o argumento non é correcto.

De feito, se tal argumento fose correcto, tamén debería selo cando se utilizan outras formas multilineais en lugar do determinante. Por exemplo, se consideramos a función permanente e definimos $q_{A}(\lambda )=\operatorname {perm} (\lambda I_{n}-A)$, entón polo mesmo argumento, deberiamos ser capaces de "probar" que $q_{A}(A)=0$. Pero esta afirmación é manifestamente errónea: no caso bidimensional, por exemplo, o permanente dunha matriz vén dado por

$$\operatorname {perm} \!{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad+bc.$$

Así, para a matriz $A$ do exemplo anterior,

$${\begin{aligned}q_{A}(\lambda )&=\operatorname {perm} (\lambda I_{2}-A)=\operatorname {perm} \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}\\[6pt]&=(\lambda -1)(\lambda -4)+(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda +10.\end{aligned}}$$

Con todo, un pode comprobar que

$$q_{A}(A)=A^{2}-5A+10I_{2}=12I_{2}\neq 0.$$

Unha das probas do teorema de Cayley-Hamilton anterior ten certa similitude co argumento de que $p_{A}(A)=\det(AI_{n}-A)=0$. Ao introducir unha matriz con coeficientes non numéricos, realmente pódese deixar que $A$ viva dentro dunha entrada de matriz, pero a conclusión alcánzase de maneira diferente.

Matrices adxuntas

Todas as probas a continuación utilizan a matriz adxunta $\operatorname {adj} (M)$ dunha matriz cadrada $M$ con entradas nun anel conmutativo, é dicir, a trasposta da súa matriz de cofactores. Esta é unha matriz cuxos coeficientes son dados por expresións polinómicas nos coeficientes de $M$ (de feito, por determinantes de menores da matriz) de tal maneira que se verifican as seguintes igualdades

$$\operatorname {adj} (M)\cdot M=\det(M)I_{n}=M\cdot \operatorname {adj} (M).$$

como consecuencia directa da expansión de Laplace.

Unha proba empregando matrices de endomorfismos

Como se mencionou anteriormente, a matriz $p_{A}(A)$ obtense calculando primeiro o determinante $\operatorname {det} (\lambda I_{n}-A)$ e logo avaliando o polinomio resultante en $A$ e facer esa substitución antes de calcular o determinante non é significativo. Con todo, é posible dar unha interpretación onde $p_{A}(A)$ se obtén directamente como o valor dun determinado determinante, pero isto require un axuste máis complicado, un de matrices sobre un anel no que se poden interpretar tanto as entradas de A, como todo A en si.

Sexan $V$ un $K$-espazo vectorial $n$-dimensional, $f\in \operatorname {End} (V)$ e ${\mathcal {B}}=(v_{1},\dots ,v_{n})$ unha base. Consideremos o módulo á esquerda $V^{n}$ sobre o anel de matrices ${\mathcal {M}}_{n}(K[f])$ dado por

$(A,v)\in {\mathcal {M}}_{n}(K[f])\times V^{n}\longmapsto A\cdot v=\left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}(f)(v_{j}),\dots ,\sum _{j=1}^{n}a_{nj}(f)(v_{j})\right)\in V^{n}.$

Se $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}=(f)_{\mathcal {B}}$, entón$$f(v_{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i},\quad j=1,\dots ,n$$ou, equivalentemente, $$\sum _{i=1}^{n}(\delta _{ij}f-a_{ij}\operatorname {id} _{V})(v_{i})=0,\quad j=1,\dots ,n.$$

Se definimos agora a matriz $B=(\delta _{ij}f-a_{ij}\operatorname {id} _{V})_{1\leq i,j\leq n}\in {\mathcal {M}}_{n}(K[f])$, podemos escribir a igualdade anterior en forma matricial como$$B\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}.$$Como $K[f]$ é un anel conmutativo, temos que

$${\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\operatorname {adx} (B)\cdot {\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=\operatorname {adx} (B)\cdot \left(B\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\right)=\left(\operatorname {adx} (B)\cdot B\right)\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\operatorname {det} (B){\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}},$$

de onde podemos concluír que $\operatorname {det} (B)(v_{i})=0\in V$ para todo $i\in \{1,\dots ,n\}$, é dicir, $\det(B)=0\in \operatorname {End} (V).$ Para rematar a demostración, basta con notar que, por construción, $\det(B)=p_{f}(f)$.

Considerar o anel ${\mathcal {M}}_{n}(K[A])$ con matrices como entradas podería causar confusión coas matrices de bloque, polo que resulta máis claro considerar o anel endomorfismos $M_{n}(K[f])$ asociados a ditas matrices. A equivalencia entre resultados é consecuencia directa do isomorfismo de álxebras $\operatorname {End} (V)\to {\mathcal {M}}_{n}(K)$ dado por $f\mapsto (f)_{\mathcal {B}}$. Grazas a isto, temos que ${\textstyle p_{A}(A)=(p_{f}(f))_{\mathcal {B}}=0.}$

É importante sinalar que, aínda que partimos dun espazo vectorial sobre un corpo, a demostración é completamente análoga no caso de ter unha matriz con entradas nun anel conmutativo (basta con considerar módulos libres).

Demostracións utilizando métodos de álxebra abstracta

Para probar o teorema de Cayley-Hamilton, Gatto e Salehyan (2016, §4) empregaron propiedades básicas das derivacións de Hasse-Schmidt na álxebra exterior ${\textstyle A=\bigwedge M}$ dalgún $B$-módulo (supostamente libre e de rango finito). Véxase tamén Gatto & Salehyan (2016) e Scherbak (2015).

Unha proba combinatoria

Déronse tamén unha proba baseada no desenvolvemento da fórmula de Leibniz para o polinomio característico (Straubing) e unha xeneralización usando a teoría de monoides traza de Foata e Cartier.

Matrices non singulares

Unha aplicación interesante do teorema de Cayley-Hamilton atópase no cálculo de inversas de matrices. Se consideramos unha matriz $A\in {\mathcal {M}}_{n}(K)$ e o seu polinomio característico$$p_{A}(\lambda )=\det(A-\lambda I_{n})=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i},$$polo teorema de Cayley-Hamilton temos que $$p_{A}(A)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}A^{i}=0.$$Se $A$ é unha matriz non singular, entón $c_{0}=p_{A}(0)=\det(A)\neq 0$ e podemos escribir$$I\equiv A^{0}=\left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}}{c_{0}}}A^{i-1}\right)A,$$é dicir, $$A^{-1}=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}}{c_{0}}}A^{i-1}.$$

Exemplos

Orde 1

Para unha matriz $A=(a)$ o polinomio característico vén dado por $p_{A}(\lambda )=\det(\lambda -a)=\lambda -a$, logo $p_{A}(A)=a-a=0$.

Orde 2

Como exemplo concreto consideremos$$A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}.$$Podemos ver que$${\begin{aligned}p(\lambda )&=\det(\lambda I_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}\\&=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2\end{aligned}}$$e, efectivamente,

$$A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.$$

Para unha matriz$$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}},$$o polinomio característico vén dado por

$p_{\lambda }(A)=\det(\lambda I_{2}-A)=\det {\begin{pmatrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{pmatrix}}=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)$

polo que o teorema de Cayley-Hamilton afirma que$$p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}};$$e, como se pode ver,

${\begin{aligned}\\&A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}\\[1pt]\\&={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}a(a+d)&b(a+d)\\c(a+d)&d(a+d)\end{pmatrix}}+(ad-bc)I_{2}\\[1pt]\\&={\begin{pmatrix}bc-ad&0\\0&bc-ad\\\end{pmatrix}}+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Alagös, Y.; Oral, K.; Yüce, S. (2012). "Split Quaternion Matrices". Miskolc Mathematical Notes 13 (2): 223–232. ISSN 1787-2405. doi:10.18514/MMN.2012.364 
• Atiyah, M. F.; MacDonald, I. G. (1969). Introduction to Commutative Algebra. Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8. 
• Barut, A. O.; Zeni, J. R.; Laufer, A. (1994a). "The exponential map for the conformal group O(2,4)". J. Phys. A: Math. Gen. 27 (15): 5239–5250. Bibcode:1994JPhA...27.5239B. arXiv:hep-th/9408105. doi:10.1088/0305-4470/27/15/022. 
• Barut, A. O.; Zeni, J. R.; Laufer, A. (1994b). "The exponential map for the unitary group SU(2,2)". J. Phys. A: Math. Gen. 27 (20): 6799–6806. Bibcode:1994JPhA...27.6799B. arXiv:hep-th/9408145. doi:10.1088/0305-4470/27/20/017. 
• Bhatia, R. (1997). Matrix Analysis. Graduate texts in mathematics 169. Springer. ISBN 978-0387948461. 
• Brown, Lowell S. (1994). Quantum Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46946-3. 
• Cayley, A. (1858). "A Memoir on the Theory of Matrices". Philos. Trans. 148: 17. Bibcode:1858RSPT..148...17C. 
• Cayley, A. (1889). The Collected Mathematical Papers of Arthur Cayley. (Classic Reprint) 2. Forgotten books. ASIN B008HUED9O. 
• Crilly, T. (1998). "The young Arthur Cayley". Notes Rec. R. Soc. Lond. 52 (2): 267–282. doi:10.1098/rsnr.1998.0050. 
• Curtright, T L; Fairlie, D B; Zachos, C K (2014). "A compact formula for rotations as spin matrix polynomials". SIGMA 10 (2014): 084. Bibcode:2014SIGMA..10..084C. arXiv:1402.3541. doi:10.3842/SIGMA.2014.084. 
• Frobenius, G. (1878). "Ueber lineare Substutionen und bilineare Formen". J. Reine Angew. Math. 1878 (84): 1–63. 
• Gantmacher, F.R. (1960). The Theory of Matrices. NY: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1376-8. 
• Gatto, Letterio; Salehyan, Parham (2016). Hasse–Schmidt derivations on Grassmann algebras. Springer. ISBN 978-3-319-31842-4. MR 3524604. doi:10.1007/978-3-319-31842-4. 
• Garrett, Paul B. (2007). Abstract Algebra. NY: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1584886891. 
• Hamilton, W. R. (1853). Lectures on Quaternions. Dublin. 
• Hamilton, W. R. (1864a). "On a New and General Method of Inverting a Linear and Quaternion Function of a Quaternion". Proceedings of the Royal Irish Academy viii: 182–183.  (June 9, 1862)
• Hamilton, W. R. (1864b). "On the Existence of a Symbolic and Biquadratic Equation, which is satisfied by the Symbol of Linear Operation in Quaternions". Proceedings of the Royal Irish Academy viii: 190–101.  (June 23, 1862)
• Hou, S. H. (1998). "Classroom Note: A Simple Proof of the Leverrier--Faddeev Characteristic Polynomial Algorithm". SIAM Review 40 (3): 706–709. Bibcode:1998SIAMR..40..706H. doi:10.1137/S003614459732076X.  "Classroom Note: A Simple Proof of the Leverrier--Faddeev Characteristic Polynomial Algorithm"
• Hamilton, W. R. (1862). "On the Existence of a Symbolic and Biquadratic Equation which is satisfied by the Symbol of Linear or Distributive Operation on a Quaternion". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. series iv 24: 127–128. ISSN 1478-6435. Consultado o 2015-02-14. 
• Householder, Alston S. (2006). The Theory of Matrices in Numerical Analysis. Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0486449722. 
• Krivoruchenko, M. I. (2016). "Trace Identities for Skew-Symmetric Matrices". arXiv:1605.00447 [math-ph]. 

• Kondratyuk, L. A.; Krivoruchenko, M. I. (1992). "Superconducting quark matter in SU(2) color group". Zeitschrift für Physik A 344 (1): 99–115. Bibcode:1992ZPhyA.344...99K. doi:10.1007/BF01291027. 
• Laufer, A. (1997). "The exponential map of GL(N)". J. Phys. A: Math. Gen. 30 (15): 5455–5470. Bibcode:1997JPhA...30.5455L. arXiv:hep-th/9604049. doi:10.1088/0305-4470/30/15/029. 
• Tian, Y. (2000). "Matrix representations of octonions and their application". Advances in Applied Clifford Algebras 10 (1): 61–90. Bibcode:2000math......3166T. ISSN 0188-7009. arXiv:math/0003166. doi:10.1007/BF03042010. 
• Zeni, J. R.; Rodrigues, W.A. (1992). "A thoughtful study of Lorentz transformations by Clifford algebras". Int. J. Mod. Phys. A 7 (8): 1793 pp. Bibcode:1992IJMPA...7.1793Z. doi:10.1142/S0217751X92000776. 
• Zhang, F. (1997). "Quaternions and matrices of quaternions". Linear Algebra and Its Applications 251: 21–57. ISSN 0024-3795. doi:10.1016/0024-3795(95)00543-9  (open archive).

Outros artigos

• Matriz compañeira

Ligazóns externas

• "Cayley–Hamilton theorem". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. ^{[Ligazón morta]} (en inglés).
• Unha proba de PlanetMath. (en inglés).
• O teorema de Cayley-Hamilton en MathPages (en inglés).