Теория категорий

Запрос «Категория (математика)»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Схематическое обозначение объектов категории $X$, $Y$, $Z$ и морфизмов $f$, $g$, $g\circ f$

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Рассматривается как часть общей алгебры, и как самостоятельный раздел, занимающий одно из центральных мест в современной математике, начиная со второй половины XX века замещающий в абстрактных разделах теорию множеств, и становящийся общим инструментальным средством, связующим различные ветви математики. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры целиком опирается на понятия и результаты теории категорий. Также нашла применения в информатике, логике и в теоретической физике.

Основные положения теории заложены в 1942—1945 годы Саундерсом Маклейном и Самуэлем Эйленбергом; широкое распространение теории в 1950-е годы связано, прежде всего, с работами Александра Гротендика, фактически переформулировавшего на языке категорий алгебраическую геометрию и за счёт этого глубоко обобщённые результаты, начиная с 1960-х годов отмечено распространение теории на все разделы математики и построение приложений.

Определение

Категория ${\mathcal {C}}$ — это:

• класс объектов $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$;
• для каждой пары объектов $A$, $B$ задано множество морфизмов (или стрелок) $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$, причём каждому морфизму соответствуют единственные $A$ и $B$;
• для пары морфизмов $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$ и $g\in \mathrm {Hom} (B,C)$ определена композиция $g\circ f\in \mathrm {Hom} (A,C)$;
• для каждого объекта $A$ задан тождественный морфизм $\mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)$;

причём выполняются две аксиомы:

• операция композиции ассоциативна: $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ и
• тождественный морфизм действует тривиально: $f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$ для $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$

Малая категория

Основная статья: Категория малых категорий

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория ${\mathcal {C}}$, в которой $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C}}$ является множеством и $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$ (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс или даже большую структуру. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий

Одна из чаще всего рассматриваемых категорий — категория множеств $\mathbf {Set}$, её объектами являются множества, морфизмами — отображения множеств.

Объектами категории групп $\mathbf {Grp}$ являются группы, а морфизмами — гомоморфизмы групп — отображения, сохраняющие групповую структуру. Категория абелевых групп $\mathbf {Ab}$ (являющаяся полной подкатегорией категории групп) подтолкнула к формированию понятия абелевой категории — категории, в которой морфизмы можно складывать, а ядра и коядра существуют и обладают удобными свойствами, благодаря ему удалось объединить теорию когомологий пучков на алгебраических многообразиях и теорию когомологий групп. В дальнейшем установлено, что любая малая абелева категория вкладывается в некоторую категорию модулей $R{\text{-}}\mathbf {Mod}$ — левых унитарных модулей над некоторым кольцом $R$ (теорема Фрейда — Митчелла о вложении).

Категория модулей над полем $K$ образует категорию векторных пространств $\mathbf {Vect} _{K}$, объекты которой — векторные пространства над $K$, а линейные отображения между ними составляют её множество морфизмов. Категория топологических пространств $\mathbf {Top}$ строится над топологическими пространствами как объектами и непрерывными отображениями между ними как морфизмами. Морфизмы категории метрических пространств $\mathbf {Met}$ — короткие отображения между метрическими пространствами.

Симплициальная категория $\mathbf {Ord}$ в качестве объектов содержит непустые конечные ординалы, её морфизмы — монотонные отображения. Кроме того, для любого частично упорядоченного множества (и вообще для любого предпорядка) можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами $x$ и $y$ существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда $x\leqslant y$.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Двойственность

Для категории ${\mathcal {C}}$ можно определить двойственную категорию' ${\mathcal {C}}^{op}$, в которой:

• объекты совпадают с объектами исходной категории;
• морфизмы получаются «обращением стрелок»: $\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{op}}(B,A)\simeq \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (предел и копредел; произведение и копроизведение и так далее).

Свойства морфизмов

Морфизм $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм $g\in \mathrm {Hom} (B,A)$, что $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ и $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов $\mathrm {End} (A)=\mathrm {Hom} (A,A)$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом $\mathrm {id} _{A}$.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов $\mathrm {Aut} (A)$ по композиции.

Мономорфизм — морфизм $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$ такой, что для любых $g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (X,A)$ из $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$ следует, что $g_{1}=g_{2}$. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — такой морфизм $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$, что для любых $g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (B,X)$ из $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ следует $g_{1}=g_{2}$. Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Начальный и терминальный объекты

Основная статья: Начальный и терминальный объекты

Начальный (инициальный, универсально отталкивающий) объект категории — такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — как объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно начальный и терминальный. Например, в категории $\mathbf {Set}$ инициальным объектом является пустое множество $\varnothing$, терминальным — любое множество из одного элемента $\{\cdot \}$. В категории $Grp$ существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Произведение (пары) объектов $A$ и $B$ — объект $A\times B$ с морфизмами $p_{1}:A\times B\to A$ и $p_{2}:A\times B\to B$ такими, что для любого объекта $C$ с морфизмами $f_{1}:C\to A$ и $f_{2}:C\to B$ существует единственный морфизм $g:C\to A\times B$ такой, что диаграмма:

коммутативна. Морфизмы $p_{1}:A\times B\to A$ и $p_{2}:A\times B\to B$ называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение $A+B$ объектов $A$ и $B$. Соответствующие морфизмы $\imath _{A}:A\to A+B$ и $\imath _{B}:B\to A+B$ называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Например, в категории $Set$ произведение $A$ и $B$ — прямое произведение в смысле теории множеств $A\times B$, а сумма — дизъюнктное объединение $A\sqcup B$. В категории колец $\mathbf {Ring}$ сумма — это тензорное произведение $A\otimes B$, а произведение — прямая сумма $A\oplus B$. В категории $\mathbf {Vect} _{K}$ (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств $A\oplus B$.

Естественным образом определяется произведение любого семейства объектов $\prod _{i\in I}A_{i}$. При этом бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные, например, в то время как конечные произведения и копроизведения в $\mathbf {Vect} _{K}$ изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения $\prod _{i\in I}V_{i}$ являются произвольные бесконечные последовательности элементов $v_{i}\in V_{i}$, в то время как элементами бесконечного копроизведения $\coprod _{i\in I}V_{i}$ являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Основная статья: Функтор (математика)

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее, (ковариантный) функтор ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ставит в соответствие каждому объекту категории ${\mathcal {C}}$ объект категории ${\mathcal {D}}$ и каждому морфизму $f:A\to B$ морфизм $F(f):{\mathcal {F}}(A)\to {\mathcal {F}}(B)$ так, что:

• $F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A)}$ и
• $F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)$.

Контравариантный функтор (кофунктор) можно понимать как ковариантный функтор из ${\mathcal {C}}$ в ${\mathcal {D}}^{op}$ (или из ${\mathcal {C}}^{op}$ в ${\mathcal {D}}$), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму $f:A\to B$ он сопоставляет морфизм $F(f):{\mathcal {F}}(B)\to {\mathcal {F}}(A)$, соответственным образом обращается правило композиции: $F(g)\circ F(f)=F(f\circ g)$.

Естественные преобразования

Основная статья: Естественное преобразование

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если $F$ и $G$ — ковариантные функторы из категории $C$ в $D$, то естественное преобразование $\eta$ сопоставляет каждому объекту $X$ категории $C$ морфизм $\eta _{X}:F(X)\to G(X)$ таким образом, что для любого морфизма $f:X\to Y$ в категории $C$ следующая диаграмма коммутативна:

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что $\eta _{X}$ — изоморфизм для любого $X$.

Специальные классы категорий

В ходе развития теории категорий выделены специальные классы категорий, обладающих теми или иными свойствами, среди них — моноидальные категории (обобщающая категории структур, наделённых тензорным произведением), абелевы категории (обладающие свойствами, близкими к категории абелевых групп), элементарные топосы (похожие в определённом смысле на категорию множеств).

Литература

• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• С. Маклейн. Гомология (рус.). — Москва: Мир, 1966. — Т. 114. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Шульгейфер Е. Г. . Глава VII. Категории // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 368—460. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории (рус.). — 1969. — Т. 06. — (ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия).
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий (рус.). — Москва: Наука, 1970.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий (рус.). — Москва: Наука, 1974.
• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов (рус.). — Москва: Мир, 1972. — С. 259.
• Фейс. том 1 // Алгебра — кольца, модули и категории (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 190. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Фейс [Faith C.] том 2 // Алгебра — кольца, модули и категории (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 191. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий (рус.). — Москва: Мир, 1977. — Т. 35. — (Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften).
• Голдблатт. Топосы — категорный анализ логики (рус.). — 1983. — Т. 98. — (Studies in logic & foundation of mathematics).
• Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями (рус.) / под ред. Бухштабер В. М.. — 1983. — Т. 33. — (Новое в зарубежной науке, математика).
• D. E. Rydeheard, R. M. Burstall. Computational Category Theory (англ.). — New York: Prentice Hall, 1988. — 257 p. — ISBN 0-13-162736-8.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу (рус.). — Москва: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.
• Р. Голдблатт. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic (рус.). — Москва: Мир, 1983. — 488 с.
• Родин А. В. Теория категорий и поиски новых математических оснований физики // Вопросы философии. — 2010. — № 7. — С. 67.

Ссылки

• «Category Theory» in Stanford Encyclopedia of Philosophy (англ.).
• И. Иванов. Нужна ли физикам теория категорий?  (рус.) Элементы (10 сентября 2008).
• Category theory in Haskell (англ.). Дата обращения: 13 марта 2011. Архивировано 23 августа 2011 года.