Категория абелевых групп

Категория абелевых групп — категория, объекты которой — абелевы группы, а морфизмы — гомоморфизмы групп. Стандартное обозначение — $\mathbf {Ab}$. Является прототипом абелевой категории; в действительности, любая малая абелева категория может быть вложена в $\mathbf {Ab}$.

Является полной подкатегорией категории всех групп $\mathbf {Grp}$. Главное различие между $\mathbf {Ab}$ и $\mathbf {Grp}$ состоит в том, что сумма двух гомоморфизмов абелевых групп — снова гомоморфизм:

${\begin{aligned}(f+g)(x+y)&=f(x+y)+g(x+y)\\&=f(x)+f(y)+g(x)+g(y)\\&=f(x)+g(x)+f(y)+g(y)\\&=(f+g)(x)+(f+g)(y)\end{aligned}}$

— третье равенство требует коммутативности сложения. Сложение морфизмов делает $\mathbf {Ab}$ предаддитивной категорией, и поскольку конечная прямая сумма абелевых групп является бипроизведением, следует, что $\mathbf {Ab}$ — аддитивная категория.

В категории абелевых групп понятие ядра в категорном смысле совпадает с понятием ядра в алгебраическом смысле, то же самое верно для коядра. (Ключевое различие между $\mathbf {Ab}$ и $\mathbf {Grp}$ здесь состоит в том, что в категории групп $f(A)$ может не быть нормальной подгруппой, поэтому факторгруппа $B/f(A)$ не всегда может быть определена.)

Объект $\mathbf {Ab}$ является инъективным тогда и только тогда, когда группа делимая; он проективен тогда и только тогда, когда группа свободная.

Для двух абелевых групп $A$ и $B$ можно определить их тензорное произведение $A\otimes B$; оно вновь является абелевой группой, что делает $\mathbf {Ab}$ моноидальной категорией.

Категория абелевых групп не является декартово замкнутой, потому что в ней не всегда определены экспоненциалы.

Литература

• Маклейн С. Глава 7. Моноиды // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 188—221. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory (англ.) / Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — Vol. 97. — (Encyclopedia of Mathematics and Its Applications). — ISBN 0-521-83414-7. — .