هرم (هندسة)

  لمعلومات عن معانٍ أخرى، طالع هرم (توضيح).

هرم
النوع	موشوري
الوجوه	n مُثلَّثًا، 1 مُضلَّع نوني
الرؤوس	n + 1
رمز شليفلي	( ) v {n}
ترميز كونواي	Yn
زمرة التناظر	Cnv, [1,n], (*nn), من الرتبة 2n
الثِّنْوِيّ	هرم
الخصائص	محدب

الهرم (الجمع: أهرام وأهرامات) مُتعدِّد وجوه موشوري، أي تقع رؤوسه في مستويين متوازيين، في الأول رأس واحد يُسمَّى القمة وفي الآخر سائر الرؤوس التي تُشكِّل قاعدةً مُضلَّعة.

للهرم أنواع عديدة حسب نوع قاعدته، فلو كانت مثلثًا وُصِف بالهرم المُثلَّث، ولو كانت مُربَّعًا وُصِف بالهرم المربع وهكذا، ولو كانت قاعدته مضلعًا منتظمًا وُصِف بالانتظام، كأن يقال هرمٌ مخمَّسٌ منتظَم، أي قاعدته مُخمَّس منتظم.

الأهرام كلها ذاتية الثنوية، أي أن ثنوي الهرم هو الهرم نفسه.

التعريف

الهرم مُتعدِّد وجوه يُنشَأ بوصل رؤوس مُضلَّع مستوٍ، يُسمَّى قاعدة الهرم، إلى نقطة خارج المستوي تُسمَّى قمته. للهرم وجوه الجانبية كلها مُثلَّثات، يَتحدَّد عددها بنوع قاعدته، لو كانت القاعدة مُثلَّثة فعدد الوجوه الجانبية 3، ولو كانت القاعدة مُربَّعة فعدد الوجوه الجانبية 4، وهكذا ... تتشكل الوجوه الجانبية باتصال قمة الهرم برأسين متجاورين متصلين من رؤوس القاعدة، تُسمَّى الحروف التي تصل القاعدة بالقمة بالحروف الجانبية.

عُرِف الهرم تاريخيًا، ووصفه عدد من الرياضياتيين في الأزمنة القديمة، أهمهم إقليدس الذي وصفه في كتابه الأصول بأنه شكل مُجسَّم يُنشأ من مستوٍ ونقطة خارجه، وقد وضَّح هيرون الإسكندراني التعريف بإضافة أن الإنشاء يكون بوصل النقطة مع رؤوس قاعدة مُضلَّعة في المستوي.

الهرم من الموشوريات، لأن رؤوسه تقلع في مستويين متوازيين، يضم أحدها قمته، ويُضم الثاني سائر الرؤوس الأخرى التي تُشكِّل قاعدة مُضلَّعة.

التصنيف والأنواع

(أ)

(ب)

(ج)

(د)

أفراد من عائلة الأهرام منتظَمة القاعدة: (أ) هرم مُثلَّث منتظَم (رباعي وجوه منتظَم) (ب) هرم مُربَّع منتظَم (ج) هرم مُخمَّس منتظَم (د) هرم مُسدَّس منتظَم

الهرم مُتعدِّد وجوه موشوري، لو كانت قاعدته مضلعًا مُحدَّبًا فإنه يكون متعدد وجوه مُحدَّب. يعني (التحدُّب) أن بالإمكان رسم خط مستقيم من أي نقطة داخل الهرم، أو على أحد وجوهه، إلى أي نقطة أخرى داخله، أو على أحد حروف، من غير أن يقطع الخط أحد وجوه الهرم، أما (موشوري) فتعني أن رؤوسه تقطع في مستويين متوازيين، يضم الأول قمة الهرم والثاني قاعدته. تُصنَّف الأهرام حسب نوع قاعدتها إلى: مُثلَّثة لو كان القاعدة مُثلَّثًا ومُربَّعة لو كانت مُربعًا، ومُخمَّسة لو كانت مُخمَّسًا ونونية لو كان عدد أضلاعها n، أما لو انتهى عدد أضلاع القاعدة إلى اللانهاية، فإن الهرم ينتهي إلى مخروط.

• 
  هرم مُسبَّع (سباعي أضلاع القاعدة)
• 
  هرم سبع عشري الأضلاع
• 
  هرم عشروني الأضلاع

يُوصَف الهرم بأنه منتظَمٌ لو كانت قاعدته مُضلعًا منتظَمًا، ويوصف الهرم بأنه قائم إذا كان محوره، أي المستقيم المار من قمته ومن مركز قاعدته عموديًا على القاعدة. ويُوصف بأنه مائل كان مسقط القمة على مستوي القاعدة يقع خارج القاعدة المُضلَّعة، في حين تكتفي مصادر أخرى بوصف أي هرم غير قائم بأنه منحرف. لا يوجد اتفاق عام حول هذه تعريف هذه الخواص. فبعض المصادر تقول أن الهرم قائم حالة خاصة من الهرم المُنتظَم، فتستثني من ذلك حالات مثل الهرم المستطيل والهرم المُعيَّن، حتى لو كان محور القاعدة مارًا من القمة. في حين تقصر بعض التعاريف حالة الهرم القائم على "الهرم القائم" على الهرم الذي تكون قاعدته مرتسمة على دائرة على أن يلتقي عامد الهرم بالقاعدة في مركز تلك الدائرة.

• 
  هرم غير منتظَم: قاعدته مُضلَّع غير منتظَم
• 
  هرم قائم: محور القاعدة عمودي عليها ويمر من القمة (غير منتظم: القاعدة مستطيل)
• 
  هرم مُنحرِف: مسقط القمة على مستوي القاعدة يقع خارج القاعدة المُضلَّعة
• 
  هرم مستطيل: قاعدته مستطيل.
• 
  هرم مُعيَّن: قاعدته مُعيَّن.

لو كان لهرم ما قاعدة مُضلَّعة مُنتظَمة نونية عدد أضلاعها n، فإن عدد رؤوسه سيكون n + 1 رأسًا وعدد وجوهه n + 1 وجهًا وعدد حروفه 2n حرفًا. وجوه هذا الهرم الجانبية مُثلَّثات متساوية الساقين، زمرة تناظره C_nv من الرتبة 2n: أي أنه متناظر عند تدويره حول محوره بخطوات قيمتها 360/n درجة، لهذا الهرم أيضًا تناظر مرآتي بالنسبة لأي مستوي منصف لقاعدته وعمود عليها. الهرم المُربَّع والهرم المُخمَّس مثالان على ذلك: 4 وجوه مُثلَّثة وقاعدة مربعة، وخمسة وجوه مثلثة وقاعدة مُخمَّسة على الترتيب، لو كانت الوجوه كلها مُنتظَّمة استوفى الهرمان عندها شروط مُجسَّمات جُنسون وشغلا الموقع الأول J₅ والثاني J₂ على الترتيب في القائمة، للأول زمرة تناظر C_4v من الرتبة الثامنة وللثاني C_5v من الرتبة العاشرة. أما الهرم المُثلَّث المنتظَم، وهو نفسه رباعي الوجوه فله 4 وجوهٍ هي مثلثات متساوية الأضلاع يُعدَّ واحدٌ منها قاعدة والثلاثة الأُخرى وجوهًا جانية، هذا المُجسَّم يستوفي شروط المُجسَّمات الأفلاطونية ودلتاويات الوجوه وله تناظر رباعي الوجوه. للأهرام غير المنتظمة التي قاعدتها مُعيَّن أو شبه منحرف زمرة تناظر هي C_2v من الرتبة 4.

هرم نجمي

بيان عجلي يُمثِّل أهرامًا مرُبَّعة حتى متسَّعة.

الأهرام كلها ذاتية الثنوية، أي أن ثنوي الهرم هو الهرم نفسه. يُمثَّل الهيكل النوني للهرم ببيان عجلي، أي بيان له شكل مُضلَّع تتصل رؤوسه كلها مع عقدة في المركز تُسمَّى العقدة المركزية.

لو كانت قاعدة الهرم مضلعًا نجميًا، فإن الهرم يُسمَّى هرمًا نجميًا، ويختلف هذا الهرم عن سائر الأهرام السابقة بأنه متعدد وجوه مُحدَّب.

القياسات

مساحة سطح الهرم هي مجموع مساحة سطوح وجوهه، أي مجموعة مساحات المثلثات التي تُشكِّل وجوهه الجانبية مضافًا لها مساحة القاعدة المُضلَّعة.

حجم الهرم $v$ هو ثلث جداء مساحة القاعدة $B$ بطول العامد $h$، وهو القطعة المستقيمة الواصلة بين القمة ومسقطها القائم على القاعدة، أي: $$V={\frac {1}{3}}Bh.$$

التعميم

هرم فائق رباعي الأبعاد قاعدته مُكعَّب

الهرم الفائق تعميم للهرم في فضاء نوني الأبعاد. في الفضاء ثلاثي الأبعاد يُنشَأ الهرم بوصل رؤوس قاعدته المُضلَّعة، التي تقع في مستو واحد، إلى رأسٍ يقع خارج ذلك المستوي هو قمته. ويكون طول عامد الهرم القطعة المستقية الواصلة بين القمة والقاعدة والعمودية على مستوي الأخيرة. يُعمَّم هذا الإنشاء على n بُعدًا: تُصبح القاعدة متعدد أكناف بُعده (n − 1) في مستوٍ فائق أبعاده (n − 1). تتموضع القمة، وهي نقطة، خارج المستوي الفائق وتتصل مع كل رؤوس متعدد الأكناف.

يُحسب الحجم البعدي النوني V_n لهرم فائق نوني الأبعاد كما يلي: $$V_{n}={\frac {A\cdot h}{n}}$$

وفيه A هو الحجم في البعد n-1 وh هو العامد: المسافة الفاصلة بين القمة المستوي الفائق الذي توجد فيه القاعدة.

العلاقة مع متعددات وجوه أخرى

يرتبط الهرم بعلاقات مختلفة مع عدد من متعددات وجوه الأخرى:

• إذا بُتِرت قمة الهرم بمستوٍ موازٍ لقاعدته، فإن الناتج يُسمَّى جذع الهرم.
• إذا ألصق هرمان متطابقان القاعدة إلى القاعدة ينتج مُتعدد وجوه يُسمَّى ثنائي الهرم، وقد يكون مثلثًا أو مربعًا أو مُخمَّسًا أو غير ذلك حسب نوع الهرمين.
• يُمكن أن يُلصق الهرم على سطوح متعددات وجوه أخرى فتنتج متعددات وجوه جديدة:

لو أُلصِق الهرم على إحدى قاعدتي موشور، يُسمَّى الناتج الهرم المطال.

لو أُلصِق الهرم على إحدى قاعدتي موشور تخالفي، يُسمَّى الناتج هرم مطال بالبرم.

• 
  جذع الهرم هو هرم مبتور
• 
  ثنائي الهرم المُثلَّث سداسي وجوه يتنح عن لصق هرمين مثلثين قاعدة إلى قاعدة.
• 
  ينتج الهرم المُثلَّث المُطال عن هرم مُثلَّث وموشور مُثلَّث.
• 
  ينتج الهرم المُربَّع المُطال بالبرم عن هرم مُربَّع وموشور مربع تخالفي.

تُستعمل الأهرام في إنشاء عدد من مُجسَّمات جُنسون، ويكون ذلك بالتعزيز، وهو يعني إلصاق قبة أو هرم، إلى وجه واحد على الأقل لمتعدد وجوه آخر، مثل الموشور، ومن متعددات الوجوه التي تُنشأ بهذه العملية: الموشور المُسدَّس المُعزَّز والموشور المُسدَّس ثنائي التعزيز التقابلي والموشور المُسدَّس ثنائي التعزيز التخالفي والموشور المُسدَّس ثلاثي التعزيز

• 
  الموشور المُسدَّس المُعزَّز: ألصق هرم مُربَّع على أحد وجوهه الجانبية.
• 
  موشور مُسدَّس ثنائي التعزيز التقابلي: ألصق هرمان مُربَّعان على وجهين متقابلين من وجوهه.
• 
  موشور مُسدَّس ثنائي التعزيز التخالفي: أُُلصق هرمان مُربَّعان على وجهين غير متقابلين وغير متتالين من وجوهه.
• 
  موشور مُسدَّس ثلاثي التعزيز: أُلصقت 3 أهرامات مُربَّعة على وجوه غير متتالية للمتعدد.

يُنشأ اثنا عشري الوجوه المستنجَم الصغير بإلصاق 12 هرم مُخمَّس منتظَم، واحد على كل وجه من وجوه اثني عشري وجوه منتظَم.

يُستعمل الهرم في إنشاء اثني عشري الوجوه المُستنجَم الصغير بعملية تُسمَّى الاستنجام، واثنا عشري الوجوه هو من مُتعدِّدات وجوه كِبْلر وبوانسو، هي متعددات وجوه نجمية منتظمة غير محدَّبة. يُنشأ اثنا عشري الوجوه المُستنجَم الصغير بلصق هرم مُخمَّس مُنتظَم على كل وجوه من وجوه اثني عشري وجوه منتظَم.

انظر أيضًا

• ثنائي هرم
• هرم مُربَّع
• هرم مُخمَّس

المراجع

فهرس المراجع

بالعربية

بالإنجليزية

معلومات المراجع الكاملة

المقالات المُحكَّمة

• H. Martyn Cundy (1952). "Deltahedra". The Mathematical Gazette (بالإنجليزية). 36 (318): 263–266. DOI:10.2307/3608204. ISSN:0025-5572. JSTOR:3608204. OCLC:6067281474. QID:Q56457244.
• Norman Johnson (1966). "Convex polyhedra with regular faces". Canadian Journal of Mathematics (بالإنجليزية). 18: 169–200. DOI:10.4153/CJM-1966-021-8. ISSN:0008-414X. MR:0185507. OCLC:8323842957. S2CID:122006114. Zbl:0132.14603. QID:Q55758346.
• Martin Berman (1971). "Regular-faced convex polyhedra". Journal of the Franklin Institute (بالإنجليزية). 291 (5): 329–352. DOI:10.1016/0016-0032(71)90071-8. ISSN:0016-0032. MR:0290245. OCLC:4924207364. QID:Q134974397.
• Branko Grünbaum (1997). "Isogonal Prismatoids". Discrete and Computational Geometry (بالإنجليزية). 18 (1): 13–52. DOI:10.1007/PL00009307. ISSN:0179-5376. OCLC:5648283271. Zbl:0880.51012. QID:Q54152760.
• Eva Wohlleben (2018). "Duality in Non-polyhedral Bodies Part II Triplets of the Polyliner". ICGG 2018 - Proceedings of the 18th International Conference on Geometry and Graphics. Advances in Intelligent Systems and Computing (بالإنجليزية): 484–499. DOI:10.1007/978-3-319-95588-9_40. ISBN:978-3-319-95588-9. QID:Q136085127.

الكتب

بالعربية

• موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، معجم مصطلحات الرياضيات (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، OCLC:1369254291، QID:Q108593221

بالإنجليزية

• Charles Davies (1852), Elements of geometry and trigonometry, Davies' course of mathematics (بالإنجليزية), New York City: Alfred Smith Barnes, OCLC:810293148, QID:Q136087912
• William C. Bartol (1893), The Elements of Solid Geometry (بالإنجليزية), Boston: Leach, Shewell & Sanborn, OCLC:609259775, QID:Q136087569
• Euclid (1908), The Thirteen books of Euclid's Elements: Translated from the text of the Heiberg with introduction and commentary (بالإنجليزية), translated by Thomas Little Heath, Cambridge: Cambridge University Press, OCLC:1147517, QID:Q136084897{{استشهاد}}: صيانة الاستشهاد: ref duplicates default (link)
• George Pólya (1954), Mathematics and plausible reasoning: Induction and analogy in mathematics (بالإنجليزية), Princeton, London: Princeton University Press, Oxford University Press, vol. 1, OCLC:725947931, QID:Q136086958
• Magnus Wenninger (1974). Polyhedron Models (بالإنجليزية). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-09859-5. OCLC:1050038806. OL:7731896M. QID:Q135651110.
• Peter R. Cromwell (1997). Polyhedra: one of the most charming chapters of geometry (بالإنجليزية). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-55432-9. LCCN:96009420. MR:1458063. OCLC:5894556930. QID:Q134888807.
• A. M. Mathai (1999). An introduction to geometrical probability: distributional aspects with applications. Statistical distributions and models with applications (1) (بالإنجليزية). Amsterdam: Gordon and Breach. ISBN:978-90-5699-681-9. OCLC:43989534. QID:Q136085261.
• Jay Kappraff (2001). Connections: the geometric bridge between art and science. K et E series on knots and everything (25) (بالإنجليزية) (2nd ed.). Singapore Island: World Scientific. DOI:10.1142/4668. ISBN:978-981-281-139-4. OCLC:1012725063. QID:Q135420305.
• Michael O'Leary (2010). Revolutions of geometry. Pure and Applied Mathematics (بالإنجليزية). Hoboken: Wiley. ISBN:978-0-470-59179-6. OCLC:607552780. QID:Q136087464.
• James T. Smith (2011). Methods of Geometry (بالإنجليزية). Hoboken: Wiley. ISBN:978-1-118-03103-2. OCLC:781326789. QID:Q136084758.
• Pavel Aleksandrov (2013). An Introduction to the Theory of Groups. Dover books on mathematics (بالإنجليزية). Translated by Hazel Perfect; G. M. Petersen. Newburyport: Dover Publications. ISBN:978-0-486-27597-0. OCLC:1059005662. QID:Q136085595.
• W. Michael Kelley (2013). The Humongous Book of Geometry Problems (بالإنجليزية). London: Alpha Books. ISBN:978-1-61564-698-2. OCLC:971264250. QID:Q136086989.
• Tomaž Pisanski; Brigitte Servatius (2013). Configurations from a Graphical Viewpoint. Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher (بالإنجليزية). DOI:10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN:978-0-8176-8364-1. Zbl:1277.05001. QID:Q55954207.
• Larisa V. Shavinina (2013). The Routledge international handbook of innovation education. Routledge international handbook series (بالإنجليزية) (1st ed.). Abingdon-on-Thames: Routledge. DOI:10.4324/9780203387146. ISBN:978-0-429-23074-5. OCLC:841809124. QID:Q136085558.
• Daniel C. Alexander; Geralyn M. Koeberlein (2014). Elementary geometry for college students (بالإنجليزية) (6th ed.). Cengage Group. ISBN:978-1-285-19569-8. OCLC:864087072. QID:Q136085209.
• Claudi Alsina Català; Roger B. Nelsen (2015). A mathematical space odyssey: solid geometry in the 21st century. Dolciani mathematical expositions (50) (بالإنجليزية). Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN:978-1-61444-216-5. JSTOR:10.4169/j.ctt15r3znz. OCLC:914735631. QID:Q136087414.
• Steve Humble (2017). The Experimenter's A-Z of Mathematics: Math Activities with Computer Support (بالإنجليزية). London: Routledge. DOI:10.4324/9781315069555. ISBN:978-1-134-13953-8. OCLC:1003855625. QID:Q136085753.
• Norman Johnson (2018). Geometries and transformations (بالإنجليزية). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN:978-1-316-21647-7. OCLC:1045222878. QID:Q136085687.
• Ryuhei Uehara (2020). Introduction to computational origami: The world of new computational geometry (بالإنجليزية) (1st ed.). Singapore Island: شبرينغر. DOI:10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN:978-981-15-4469-9. S2CID:220150682. QID:Q135221855.

وصلات خارجية

• صفحة هرم في موسوعة عالم الرياضيات.